Manchas, rayas, lunares.....

  Durante medio siglo, los biólogos matemáticos se han basado en las ideas de Turing. Su modelo específico y la teoría biológica de la formación de patrones que motivó resultan ser demasiado simples para explicar muchos detalles de las manchas de los animales, pero recoge muchas características importantes en un contexto simple e indica el camino hacia modelos que son realistas biológicamente
  Todo empezó a principios de los cincuenta en el siglo XX, cuando a Turing comenzaba a intrigarle la geometría de la forma de las manchas de los animales: las rayas en tigres y cebras, los lunares en leopardos, las manchas en las vacas frisonas. Aunque estos diseños no muestran la regularidad exacta que la gente con frecuencia espera de las matemáticas, tienen una "sensación" matemática clara. Ahora sabemos que las matemáticas de la formación de patrones pueden generar patrones irregulares del mismo modo que generan patrones regulares, de modo que las irregularidades no son una prueba de que los modelos matemáticos para los patrones de los animales están mal.
  Turing presentó su teoría de formación de patrones en un célebre artículo titulado "Las bases químicas de la morfogénesis" publicado en 1952. Turing modelizó la formación de las manchas en los animales como un proceso que se fijaba en un "pre-patrón" en el desarrollo embrionario. A medida que el embrión crece, este pre-patrón pasa a expresarse como un patrón de pigmentos y proteínas. De modo que se concentró en hacer el modelo para ese pre-patrón. Su modelo tiene dos ingredientes principales: reacción y difusión. Turing imaginó algunos sistemas de sustancias químicas, que llamó morfógenos, "generadores de forma". En cualquier punto dado de la parte del embrión que finalmente se convierte en piel, de hecho, en la superficie del embrión, estos morfógenos reaccionan juntos para crear otras moléculas químicas. Las sustancias químicas y los resultados de la reacción también pueden difundirse, moviéndose por toda la piel en cualquier dirección.
  Las reacciones químicas requieren ecuaciones no lieneales, unas en las que , por ejemplo, el doble del dato de entrada no dé el doble del dato de salida. La difusión puede modelizarse bastante bien con ecuaciones lineales más simples: el doble de algo de cualquier molécula difundiéndose desde un punto dado da el doble de eso en todas partes.  El resultado más importante que surgió a partir de las ecuaciones de "reacción-difusión" de Turing es que no-linealidad local más difusión global crea asombrosos y, con frecuencia, complejos patrones. Muchas ecuaciones parecidas pueden producir patrones, no solo las específicas que propuso Turing.

Patrones de Turing

  Hans Meinhardt, en el Instituto de Biología Max Planck de Tubinga, ha hecho amplios estudios de muchas variantes de las ecuaciones de Turing. En su libro "La belleza algorítmica de las conchas marinas", examina muchos tipos de mecanismos químicos, mostrando que determinados tipos de reacciones conducen a determinados tipos de patrones. Por ejemplo, algunas de las sustancias químicas inhiben la producción de otras, y otras activan la producción. Combinaciones de inhibidores y activadores pueden provocar oscilaciones químicas, dando como resultados patrones regulares de rayas o lunares. Los patrones teóricos de Meinhardt coinciden con los encontrados en conchas reales.

Conus milneedwardsi

   El uso de la palabra "patrón" no implica una regularidad. Muchos patrones llamativos en las conchas marinas son complejos e irregulares. Algunas conchas con forma de cono tienen lo que parecen ser colecciones aleatorias de triángulos de varios tamaños. Matemáticamente, los patrones de este tipo pueden surgir a partir de ecuaciones como las de Turing. Estos patrones son fractales, un tipo de estructura geométrica compleja popularizada por el matemático franco-americano Benoît Mandelbrot cuando trabajaba en Yale en la década de los sesenta del siglo XX. Los fractales están muy asociados con el caos, un tipo de comportamiento irregular en un sistema matemático determinista. De manera que la concha de cono combina características matemáticas de orden y caos en un patrón.

Ian Stewart